Question

设f（x）=2x³+3x²+bx+1的导数为f′（x），且f′（1）=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-3，3]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数解析式的求解及常用方法,导数的运算

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用f′（1）=0，求出b，可得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函数在该区间上的极值，函数在端点处的函数值，即可求函数f（x）在区间[-3，3]上的最值．

解答： 解：（Ⅰ）因f（x）=2x³+3x²+bx+1，
故f′（x）=6x²+6x+b．
又由于f′（1）=0，即6+6+b=0，解得b=-12．
所以f（x）=2x³+3x²-12x+1…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³+3x²-12x+1（x∈[-3，3]），
f′（x）=6x²+6x-12=6（x-1）（x+2）（x∈[-3，3]）．
令f′（x）=0，即6（x-1）（x+2）=0，
解得x₁=-2，x₂=1．
当x∈（-3，-2）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（-3，-2）上为增函数；
当x∈（-2，1）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（-2，1）上为减函数；
当x∈（1，3）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（1，3）上为增函数．
从而函数f（x）在[-3，-2]、[1，3]上单调递增，在[-2，1]上单调递减，
又f（-3）=10，f（-2）=21，f（1）=-6，f（3）=46
所以f（x）_max=f（3）=46，f（x）_min=f（1）=-6…（12分）

点评：本题考查应用导数求函数最值，连续函数在闭区间上必存在最大值、最小值，只需求出极值、端点值进行比较即可．