Question

已知数列{a_n}、{b_n}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a₁、b₁，且a₁+b₁=6，a₁，b₁∈N，设c_n=a bn（n∈N⁺），求数列{c_n}的前20项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列{a_n}、{b_n}都是公差为1的等差数列，其首项满足a₁+b₁=6，a₁，b₁∈N，可得若a₁=0，则b₁=6；则a_n=n-1，b_n=n+5．则c_n=a bn=a_n+5=n+4，数列{c_n}的前20项和=290．对于其它情况类似得出．

解答： 解：由数列{a_n}、{b_n}都是公差为1的等差数列，其首项满足a₁+b₁=6，a₁，b₁∈N，
①若a₁=0，则b₁=6；则a_n=n-1，b_n=n+5．则c_n=a bn=a_n+5=n+4，∴数列{c_n}的前20项和=20×5+

20×19

2

×1=290．
②若a₁=1，则b₁=5；则a_n=n，b_n=n+4．则c_n=a bn=n+4，∴数列{c_n}的前20项和=290．
③若a₁=2，则b₁=4；则a_n=n+1，b_n=n+3．则c_n=a bn=n+4，∴数列{c_n}的前20项和=290．
④若a₁=3，则b₁=3；则a_n=n+2，b_n=n+2．则c_n=a bn=n+4，∴数列{c_n}的前20项和=290．
⑤若a₁=4，则b₁=2；则a_n=n+3，b_n=n+1．则c_n=a bn=n+4，∴数列{c_n}的前20项和=290．
⑥若a₁=5，则b₁=1；则a_n=n+4，b_n=n．则c_n=a bn=n+4，∴数列{c_n}的前20项和=290．
⑦若a₁=6，则b₁=0．则a_n=n+5，b_n=n-1．则c_n=a bn=n+4，∴数列{c_n}的前20项和=290．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．