Question

已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；

（3）证明:对任意的正整数,不等式…都成立.

 

Answer 1

（1）（2）；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）函数，对其进行求导，在处取得极值，可得，求得值；（2）关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，将问题转化为，在区间上恰有两个不同的实数根，对对进行求导，从而求出的范围；

（3）的定义域为，利用导数研究其单调性，可以推出，令，可以得到，利用此不等式进行放缩证明；

试题解析：（1） ， 时, 取得极值,

故，解得

经检验符合题意.

（2）由知 由,得

令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根.

当时, ,于是在上单调递增;

当时, ,于是在上单调递减.

依题意有 解得

（3） 的定义域为,由（1）知,

令得,或 （舍去）, 当时, ,单调递增;

当时, ,单调递减.为在上的最大值.

,故 （当且仅当时,等号成立）

对任意正整数,取得, ,

故……

（方法二）数学归纳法证明：

当时，左边，右边，显然，不等式成立.

假设时，…成立，

则时，有….作差比较：

构建函数，则，在

单调递减，.

取，

即，亦即，

故时，有…，

不等式成立.

综上可知，对任意的正整数,不等式…都成立

考点：（1）利用导数研究函数的极值（2）利用导数研究函数的单调性.