Question

8．函数f（x）=x²-|x|+a-1的图象与x轴有四个交点，则a的取值范是（1，$\frac{5}{4}$）．

Answer 1

分析 根据f（x）的对称性可知f（x）在（0，+∞）上有两个零点，利用二次函数的性质列出不等式组即可解出a的范围．

解答 解：∵f（-x）=（-x）²-|-x|+a-1=x²-|x|+a-1=f（x），
∴f（x）是偶函数，
∵f（x）的图象与x轴有四个交点，
∴当x＞0时，f（x）=x²-x+a-1有2个零点，
∵f（x）=x²-x+a-1的图象开口向上，对称轴为x=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（\frac{1}{2}）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{a-\frac{5}{4}＜0}\end{array}\right.$，解得：1$＜a＜\frac{5}{4}$．
故答案为（1，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，二次函数的图象与性质，属于中档题．