Question

已知a，b，c为正实数，且满足log₉（9a+b）=log₃

ab

，则使4a+b≥c恒成立的c的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由已知得9a+b=ab，从而

9a+b

ab

=

9

b

+

1

a

=1，进而4a+b=（4a+b））（

9

b

+

1

a

）=

36a

b

+

b

a

+13≥2

36

+13=25，由此能求出结果．

解答： 解：∵a，b，c都是正实数，且满足log₉（9a+b）=log₃

ab

，
∴log₉（9a+b）=log₃

ab

=log₉ab，
∴9a+b=ab，
∴

9a+b

ab

=

9

b

+

1

a

=1，
∴4a+b=（4a+b）（

9

b

+

1

a

）=

36a

b

+

b

a

+13≥2

36

+13=25，
∵4a+b≥c恒成立，c是正实数，
∴0＜c≤25．
∴c的取值范围为（0，25]
故答案为：（0，25]

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质和基本不等式性质的合理运用．