Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集为{x|1＜x＜3}．
（Ⅰ）若方程f（x）=2a有两个相等正根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系,二次函数的性质,一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题意可得ax²+（b+2）x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，可得

a＜0 1+3=- b+2 2 1×3= c a

，即

a＜0 b=-4a-2 c=3a

，代入ax²+bx+c=2a 整理，根据此方程的判别式△=0，求得a的值，可得b、c的值，从而求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）由题意可得

a＜0 12a2-(4a+2)2 4a

，由此求得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集为{x|1＜x＜3}．
故ax²+（b+2）x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，故有

a＜0 1+3=- b+2 2 1×3= c a

，整理可得

a＜0 b=-4a-2 c=3a

，
代入ax²+bx+c=2a 可得 ax²-（4a+2）x+a=0．
再根据此方程的判别式△=（4a+2）²-4a²=0，求得a=-1，或a=-

1

3

．
当a=-1时，b=2，c=-3，此时，f（x）=-x²+2x-3，满足条件．
当a=-

1

3

时，b=-

2

3

，c=-1，此时，f（x）=-

1

3

x²-

2

3

x-1，此方程有2个负实数根，不满足条件，故舍去．
综上可得，f（x）=-x²+2x-3．
（Ⅱ）若f（x）=ax²-（4a+2）x+3a（a＜0）的最大值为正数，则有

a＜0 12a2-(4a+2)2 4a

，
求得a＜-2-

3

，或 0＞a＞-2+

3

．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．