Question

12．定圆C：（x-3）²+（y-3）²=（$\frac{5}{2}$）²上有动点P，它关于定点A（7，0）的对称点为Q，点P绕圆心C依逆时针方向旋转120°后到达点R．求线段RQ长度的最大值和最小值．

Answer 1

分析 利用圆的参数方程，确定Q，R的坐标，求出QR，即可求线段RQ长度的最大值和最小值．

解答 解：由题意，设P（3+$\frac{5}{2}$cosθ，3+$\frac{5}{2}$sinθ），（θ为参数，0≤θ＜2π），
∵P关于点A（7，0）的对称点为Q，
∴Q（11-$\frac{5}{2}$cosθ，-3-$\frac{5}{2}$sinθ）
∵把点P绕圆心C（3，3）逆时针方向转过120°后得点R，
∴R（3+$\frac{5}{2}$cos（θ+120°），3+$\frac{5}{2}$sin（θ+120°）） 
∴|QR|²=（$\frac{5}{4}$cosθ-$\frac{5}{4}\sqrt{3}$sinθ-8）²+（$\frac{5}{4}$sinθ+$\frac{5}{4}\sqrt{3}$cosθ+6）²=$\frac{425}{4}$+50sin（θ+α）
∴|QR|的最大值为$\frac{25}{2}$，|QR|的最小值为$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查圆的参数方程，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．