Question

如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f（x）=2x²-2x及直线y=2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为

 

．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用

专题：导数的综合应用

分析：根据见对方的几何意义，求出两条曲线的交点，由此可得所求面积为函数f（x）=2x²-2x及y=2x在区间[0，2]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．

解答： 解：∵f（x）=2x²-2x及直线y=2x的交点为C（0，0）和（2，4）
∴曲线f（x）=2x²-2x及直线y=2x所围图形的面积为S=

∫

2 0

(2x-2x2+2x)dx=

∫

2 0

(4x-2x2)dx=（2x²-

2

3

x3）

|

2 0

=

8

3

，
矩形ABCD的面积2×

9

2

=9；
∴矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为

8 3

9

=

8

27

；
故答案为：

8

27

．

点评：本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．