Question

6．已知△ABC，∠A=$\frac{π}{3}$，BC=2，以BC为边作一个等边三角形BCP，则线段AP最大长度为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设∠ABC=θ，在△ABC中，$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{AB}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$，可得AB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$sin（\frac{2π}{3}-θ）$，在△ABP中，cos∠ABP=cos$（\frac{π}{3}+θ）$，利用余弦定理AP²=AB²+BP²-2AB•BPcos$（\frac{π}{3}+θ）$，代入整理化简即可得出．

解答 解：设∠ABC=θ，在△ABC中，$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{AB}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$，
∴AB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$sin（\frac{2π}{3}-θ）$，
在△ABP中，cos∠ABP=cos$（\frac{π}{3}+θ）$，
∴AP²=AB²+BP²-2AB•BPcos$（\frac{π}{3}+θ）$
=$\frac{16}{3}$$si{n}^{2}（\frac{2π}{3}-θ）$+4-4×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$sin（\frac{2π}{3}-θ）$cos$（\frac{π}{3}+θ）$
=$\frac{16}{3}$$si{n}^{2}（\frac{π}{3}+θ）$-$\frac{16\sqrt{3}}{3}$$sin（\frac{π}{3}+θ）$cos$（\frac{π}{3}+θ）$+4
=$\frac{8}{3}$$[1-cos（\frac{2π}{3}+2θ）]$-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$$sin（\frac{2π}{3}+2θ）$+4
=-$\frac{8}{3}$×2$[\frac{\sqrt{3}}{2}sin（\frac{2π}{3}+2θ）+\frac{1}{2}cos（\frac{2π}{3}+2θ）]$+$\frac{20}{3}$
=$\frac{20}{3}$-$\frac{16}{3}$$sin（2θ+\frac{5π}{6}）$，$0＜θ＜\frac{2π}{3}$．
当且仅当θ=$\frac{π}{3}$时，AP取得最大值2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数求值、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．