Question

20．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow b$=（sinA，cosA），$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sin（B-C）=2cosBsinC，求$\frac{b}{c}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量夹角公式以及向量数量积的坐标公式和定义建立方程关系进行求解解求角A的大小；
（Ⅱ）若sin（B-C）=2cosBsinC，利用正弦定理以及两角和差的余弦公式进行化简整理即可求$\frac{b}{c}$的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow b$=（sinA，cosA），$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°，
∴$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\sqrt{3}$sinA+cosA=|$\overrightarrow a$||$\overrightarrow b$|cos60°，
即2sin（A+$\frac{π}{6}$）=2×1×$\frac{1}{2}$=1，
即sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
则A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$，
则A=0（舍）或A=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）若sin（B-C）=2cosBsinC，
则sinBcosC-cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC=3cosBsinC，
即tanB=3tanC，
即tan（$\frac{π}{3}$-C）=3tanC，
即$\frac{\sqrt{3}-tanC}{1+\sqrt{3}tanC}$=3tanC，
$\sqrt{3}$-tanC=3tanC+3$\sqrt{3}$tan²C，
即3$\sqrt{3}$tan²C+4tanC-$\sqrt{3}$=0，
则tanC=$\frac{-4±\sqrt{16+4×3\sqrt{3}×\sqrt{3}}}{6\sqrt{3}}$=$\frac{-4±2\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{-2±\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$，
∵B+C=$\frac{π}{3}$，∴0＜C＜$\frac{π}{3}$
则tanC＞0，∴tanC=$\frac{-2+\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$，
由sinBcosC=3cosBsinC，
得$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{3cosB}{cosC}$=$\frac{3cos（\frac{π}{3}-C）}{cosC}$=$\frac{3（\frac{1}{2}cosC+\frac{\sqrt{3}}{2}sinC）}{cosC}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}tanC$，
即$\frac{b}{c}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}tanC$=$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×$\frac{-2+\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{13}-3}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的化简和求解，利用向量数量积的定义和公式以及正弦定理，两角和差的余弦公式和正切公式进行化简是解决本题的关键．综合性较强．