Question

16．已知函数f（x）=（a-1）x^a（a∈R），g（x）=|lgx|．
（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；
（Ⅱ）关于x的方程g（x-1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x₁，x₂（x₁＜x₂），求a+$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据幂函数的定义，求出a的值，即得f（x）的解析式与单调递减区间；
（Ⅱ）把方程化为g（x-1）=1-a，利用函数y=g（x-1）与y=1-a在x∈（1，3）的图象上有二交点，得出a的取值范围以及x₁，x₂的关系，从而求出a+$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（a-1）x^a（a∈R），f（x）是幂函数，
∴由题有a-1=1，得a=2；-------------2’
∴f（x）=x²的单调递减区间为（-∞，0）-------------4’
（Ⅱ）方程g（x-1）+f（1）=0化为g（x-1）=1-a，
由题意函数y=g（x-1）与y=1-a在x∈（1，3）上有两不同交点．----------5’
y=g（x-1）=|lg（x-1）|=$\left\{\begin{array}{l}{lg（x-1），x≥2}\\{-lg（x-1），1＜x＜2}\end{array}\right.$；-------------------7’
在x∈（1，2]时，y=g（x-1）单调递减，
又y=g（x-1）∈[0，+∞），
在x∈[2，3）时，y=g（x-1）单调递增，
y=g（x-1）∈[0，lg2），----------------9’
所以0＜1-a＜lg2，即1-lg2＜a＜1，--------------------------11’
由x₁＜x₂，可知x₁∈（1，2），x₂∈（2，3），
且$\left\{\begin{array}{l}{-lg{（x}_{1}-1）=1-a}\\{lg{（x}_{2}-1）=1-a}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{lg{（x}_{1}-1）=-（1-a）}\\{lg{（x}_{2}-1）=1-a}\end{array}\right.$
相加消去a，可得lg（x₁-1）+lg（x₂-1）=0，
即（x₁-1）（x₂-1）=1，
展开并整理得x₁x₂=x₁+x₂，即$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=1．--------------------14’
所以a+$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的取值范围为（2-lg2，2）．------------------16’

点评 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数与方程的应用问题以及分类讨论与转化思想，是就综合性题目．