Question

16．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，且满足f（0）=f（$\frac{π}{3}$）则下列说法正确的是（　　）

• A． f（x）的最小正周期为2π
• B． f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上是增函数
• C． f（x）的图象关于直线x=$\frac{5}{6}$π对称
• D． f（$\frac{2π}{3}$）=-2

Answer 1

分析 由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=$\frac{π}{6}$时取得最大值2，求出φ，得到函数的解析式，利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．

解答 解：由题意可知A=2，
∵满足f（0）=f（$\frac{π}{3}$），
∴当x=$\frac{π}{6}$时取得最大值2，
∴T=4（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$）=π，可得：ω=2，
∴由2sin（$\frac{π}{6}$×2+φ）=2，可得：$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴可得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得：φ=$\frac{π}{6}$，
∴函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
对于A，由于T=$\frac{2π}{2}$=π，故错误；
对于B，当x=$\frac{π}{6}$时取得最大值2，f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上不是增函数，故错误；
对于C，x=$\frac{5}{6}$π，则f（$\frac{5}{6}$π）=2sin（2×$\frac{5}{6}$π+$\frac{π}{6}$）=-1，不是最值，故错误；
对于D，f（$\frac{2π}{3}$）=2sin（2×$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=-2，正确．
故选：D．

点评 本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型，属于中档题．