Question

4．如图，抛物线y=（x-1）²+n与x轴交于A、B两点，A在B的左侧，与y轴交于C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为对称轴右侧的抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点C的坐标代入函数解析式求出n的值即可得解；
（2）根据函数解析式求出抛物线的对称轴以及点B的坐标，设对称轴与x轴相交于点E，过点P作PF⊥对称轴于F，根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“角角边”证明△BEM和△MFP全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=ME，MF=BE，设PF=a，表示出点P的坐标，然后代入函数解析式，计算求出a的值即可得解．

解答 解：（1）∵抛物线y=（x-1）²+n与y轴交于C（0，-3），
∴1+n=-3，
∴n=-4，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²-4；
（2）抛物线y=（x-1）²-4的对称轴为直线x=1，
令y=0，则（x-1）²-4=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设对称轴与x轴相交于点E，过点P作PF⊥对称轴于F，
则BE=3-1=2，
∵△BMP是等腰直角三角形，
∴MB=MP，∠BMP=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
在△BEM和△MFP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{∠BEM=∠MFP}\\{MB=MP}\end{array}$，
∴△BEM≌△MFP（AAS），
∴PF=ME，MF=BE，
设PF=a，①若点P在x轴的下方，则点P的坐标为（a+1，-a-2），
∵点P在抛物线y=（x-1）²-4上，
∴（a+1-1）²-4=-a-2，
整理得，a²+a-2=0，
解得a₁=1，a₂=-2（舍去），
∴点P的坐标为（2，-3）．
②若点P在x轴的上方，则点P的坐标为（a+1，a+2），
∵点P在抛物线y=（x-1）²-4上，
∴（a+1-1）²-1=a+2
整理得，a²-a-6=0
解得a₁=-2，a₂=3（舍去）
∴点P的坐标为（4，5）
综上所述，点P的坐标为（2，-3）或（4，5）．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键