Question

10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，f（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{2}{3}$，f（$\frac{7π}{12}$）=0，f（$\frac{11π}{12}$）=0，则A=（　　）

• A． 1
• B． x
• C． 0
• D． $\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 首先，根据图象得到函数周期，利用周期公式可求ω，由题意可得点（$\frac{\frac{11π}{12}+\frac{7π}{12}}{2}$，A）在函数图象上，可得φ=2kπ-$\frac{7π}{4}$，k∈Z，结合范围0＜φ＜π，即可求φ，由f（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{2}{3}$可求A的值．

解答 解：根据图象得到：A=2，
∴T=2（$\frac{11π}{12}$-$\frac{7π}{12}$）=$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=3，
∴f（x）=Asin（3x+φ），
∵由题意可得，点（$\frac{\frac{11π}{12}+\frac{7π}{12}}{2}$，A）在函数图象上，可得：Asin（$\frac{\frac{11π}{12}+\frac{7π}{12}}{2}$×3+φ）=A，即：sin（$\frac{\frac{11π}{12}+\frac{7π}{12}}{2}$×3+φ）=1，
∴解得：φ=2kπ-$\frac{7π}{4}$，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
又∵f（$\frac{π}{2}$）=Asin（3×$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=A×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-$\frac{2}{3}$，
∴解得：A=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故选：D．

点评 本题重点考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质及其运用，由点（$\frac{\frac{11π}{12}+\frac{7π}{12}}{2}$，A）在函数图象上求φ是解题的关键，属于中档题．