Question

【题目】一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M，N分别是AF，BC的中点

（1）求证：MN∥平面CDEF：
（2）求二面角A﹣CF﹣B的余弦值；

Answer 1

【答案】
（1）证明：由三视图知，

该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF，

且AB=BC=BF=4，DE=CF= ，∠CBF=90°，

连结BE，M在BE上，连结CE

EM=BM，CN=BN，所以MN∥CE，CE面CDEF，

所以MN∥平面CDEF．

（2）解法一：作BQ⊥CF于Q，连结AQ，

面BFC⊥面ABFE，面ABFE∩面BFC=BF，

AB面ABFE，AB⊥BF，

∴AB⊥面BCF，

CF面BCF，∴AB⊥CF，BQ⊥CF，AB∩BQ=B，

∴CF⊥面ABQ，AQ面ABQ，

AQ⊥CF，∴∠AQB为所求的二面角的平面角，

在Rt△ABQ中，tan∠AQB= = = ，

∴cos ，

∴二面角A﹣CF﹣B的余弦值为 ．

解法二：以EA，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，

A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，4，4），F（﹣4，4，0），

面CBF法向量为 ，

，

设面ACF法向量为 ，

取z=﹣1，所以

设二面角为θ，

，

∴二面角A﹣CF﹣B的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF，且AB=BC=BF=4，DE=CF= ，∠CBF=90°，由此能证明MN∥平面CDEF．（Ⅱ）（法一）作BQ⊥CF于Q，连结AQ，由已知得AB⊥面BCF，AB⊥CF，BQ⊥CF，∠AQB为所求的二面角的平面角，由此能求出二面角A﹣CF﹣B的余弦值．（Ⅱ）（法二）：以EA，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CF﹣B的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．