Question

已知函数f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝，对?x₁∈(0，＋∞)，?x₂∈(－∞，0)使得f(x₁)≤g(x₂)成立，求正实数k的取值范围；
(3)证明： ＋＋…＋<(n∈N^*，n≥2)．

Answer 1

（1）即f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
（2）k≥1
（3）见解析

(1)解　由已知得f′(x)＝－a，∴f′(2)＝－a＝－，解得a＝1.
于是f′(x)＝－1＝，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
即f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)解　由(1)知x₁∈(0，＋∞)，f(x₁)≤f(1)＝0，即f(x₁)的最大值为0，
由题意知：对?x₁∈(0，＋∞)，?x₂∈(－∞，0)使得f(x₁)≤g(x₂)成立，
只需f(x)_max≤g(x)_max.
∵g(x)＝＝x＋＋2k＝－＋2k≤－2＋2k，
∴只需－2 ＋2k≥0，解得k≥1.
(3)证明　要证明＋＋…＋<(n∈N^*，n≥2)．
只需证＋＋…＋<，
只需证＋＋…＋<.
由(1)当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
f(x)＝ln x－x＋1≤0，即ln x≤x－1，
∴当n≥2时，ln n²<n²－1，
<＝1－<1－＝1－＋，
＋＋…＋<＋＋…＋＝n－1－＋＝，
∴ ＋＋…＋<.