Question

已知方程lg（x-1）+lg（3-x）=lg（a-x）．
（1）若方程有且只有一个根，求a的取值范围．
（2）若方程无实数根，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：lg（x-1）（3-x）=lg（a-x），（x-1）（3-x）=a-x，x²-5x+（a+3）=0，由此结合已知条件和对数性质分类讨论，能求出a的取值范围．

解答： 解：lg（x-1）（3-x）=lg（a-x）
（x-1）（3-x）=a-x
x²-5x+（a+3）=0
当△=25-4（a+3）＜0，a＞

13

4

，原方程无解；
a=

13

4

，有一个解x=

5

2

，代入原方程，成立；
a＜

13

4

，x²-5x+（a+3）=0有两个解
x=

5± 13-4a

2

，
∵x-1＞0，3-x＞0，a-x＞0
∴1＜x＜3，x＜a，
由1＜

13-4a

2

＜3，
-3＜

13-4a

＜1，
∴0≤

13-4a

＜1，
0≤13-4a＜1，
-1＜4a-13≤0
3＜a≤

13

4

，
1＜

5- 13-4a

2

＜3
-1＜

13-4a

＜3，
∴0≤

13-4a

＜3，
0≤13-4a＜9
-9＜4a-13＜=0
1＜a≤

13

4

，
综上：a≤1，无解；1＜a≤3，1个解；3＜a＜

13

4

，两个解；a=

13

4

，1个解；a＞

13

4

，无解．
∴（1）若方程有且只有一个根，a的取值范围是{a|1＜a≤3}∪{

13

4

}．
（2）若方程无实数根，a的取值范围是{a|a≤1或a＞

13

4

}．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．