【题目】已知抛物线的方程
为抛物线
上一点,
为抛物线的焦点.
(I)求;
(II)设直线与抛物线
有唯一公共点
,且与直线
相交于点
,试问,在坐标平面内是否存在点
,使得以
为直径的圆恒过点
?若存在,求出点
的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(I);(II)存在,
.
【解析】
试题分析:(I)借助题设条件运用抛物线的定义求解;(II)借助题设运用直线与抛物线的位置关系及向量的数量积探求.
试题解析:
(I)由题可知,即
,由抛物线的定义可知
............4分
(II)法1:由关于
轴对称可知,若存在点
,使得以
为直径的圆恒过点
,则点
必在
轴上,设
,又设点
,由直线
与曲线
有唯一公共点
知,直线
与
相切由
得
.
,
直线
的方程为
,
令得
,
点坐标为
,
,
点
在以
为直径的圆上,
要使方程恒成立,必须有,解得
.
在坐标平面内存在点
,使得以
为直径的圆恒过点
,其坐标为
...
法2:设点,由
与曲线
有唯一公共点
知,直线
与
相切,
由得
.
直线
的方程为
,
令得
,
点坐标为
,
以
为直径的圆的方程为:
①
分别令和
,由点
在曲线
上得
,
将的值分别代入①得:
②
③
②③联立得或
.
在坐标平面内若存在点
,使得以
为直径的圆恒过点
,则点
必为
或
,将
的坐标代入①式得,
左边==右边,
将的坐标代入①式得,左边=
不恒等于0,
在坐标平面内若存在点
,使得以
为直径的圆恒过点
,则点
的坐标为
.........12分
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).在以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(1)直接写出直线、曲线
的直角坐标方程;
(2)设曲线上的点到直线
的距离为
,求
的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知点,圆
(I)在极坐标系中,以极点为原点,极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系,取相同的长度单位,求圆
的直角坐标方程;
(II)求点到圆
圆心的距离.
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【题目】已知圆经过点
,
,并且直线
平分圆
.
(1)求圆的方程;
(2)若直线与圆
交于
两点,是否存在直线
,使得
(
为坐标原点),若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知的顶点
边上的中线
所在直线方程为
,
边上的高所在直线的方程为
.
(1)求的顶点
的坐标;
(2)若圆经过不同三点
,且斜率为
的直线与圆
相切与点
,求圆的方程
.
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【题目】随机抽取了40辆汽车在经过路段上某点是的车速(),现将其分成六段:
,
后得到如图所示的频率分布直方图.
(I)现有某汽车途经该点,则其速度低于80的概率约是多少?
(II)根据频率分布直方图,抽取的40辆汽车经过该点的平均速度是多少?
(III)在抽取的40辆汽车且速度在(
)内的汽车中任取2辆,求这2辆车车速都在
(
)内的概率.
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【题目】“珠算之父”程大为是我国明代伟大数学家,他的应用数学巨著《算法统综》的问世,标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成,程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节三升九,上稍四节储三升,唯有中间两节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明”(【注】三升九:3.9升,次第盛;盛米容积依次相差同一数量.)用你所学的数学知识求得中间两节的容积为( )
A. 升 B.
升 C.
升 D.
升
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【题目】我国古代数学名著《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题:将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入的方格中,使得每一行,每一列及对角线上的三个数的和都相等,我们规定:只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同,就称为不同的幻方,那么所有不同的三阶幻方的个数是( )
8 | 3 | 4 |
1 | 5 | 9 |
6 | 7 | 2 |
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4
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