Question

10．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．
（1）求乙以4比1获胜的概率；
（2）求甲获胜且比赛局数多于5局的概率．

Answer 1

分析 （1）记“乙以4比1获胜”为事件A，则A表示乙赢了3局甲赢了一局，且第五局乙赢，再根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式求得P（A） 的值．
（2）利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式求得甲以4比2获胜的概率，以及甲以4比3获胜的概率，再把这2个概率值相加，即得所求．

解答 解：（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是$\frac{1}{2}$，
记“乙以4比1获胜”为事件A，则A表示乙赢了3局甲赢了一局，且第五局乙赢，
∴P（A）=${C}_{4}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$•$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$．
（2）记“甲获胜且比赛局数多于5局”为事件B，则B表示甲以4比2获胜，或甲以4比3获胜．
因为甲以4比2获胜，表示前5局比赛中甲赢了3局且第六局比赛中甲赢了，
这时，无需进行第7局比赛，故甲以4比2获胜的概率为${C}_{5}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{32}$．
甲以4比3获胜，表示前6局比赛中甲赢了3局且第7局比赛中甲赢了，
故甲以4比3获胜的概率为${C}_{6}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{32}$，
故甲获胜且比赛局数多于5局的概率为$\frac{5}{32}$+$\frac{5}{32}$=$\frac{5}{16}$．

点评 本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率，属于中档题．