Question

5．函数f（x）=$\frac{1}{x}$上的点到直线y=-x-1的最短距离是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 函数f（x）=$\frac{1}{x}$上的点到直线y=-x-1的距离是d=$\frac{|x+\frac{1}{x}+1|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{|-2+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出结论．

解答 解：设f（x）=$\frac{1}{x}$上的点（x，$\frac{1}{x}$），则
函数f（x）=$\frac{1}{x}$上的点到直线y=-x-1的距离是d=$\frac{|x+\frac{1}{x}+1|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{|-2+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当x=-1时取等号，
∴函数f（x）=$\frac{1}{x}$上的点到直线y=-x-1的最短距离是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查函数f（x）=$\frac{1}{x}$上的点到直线y=-x-1的最短距离，考查基本不等式的运用，属于中档题．