Question

17．数列{x_n}满足：x₁=$\frac{1}{3}$，x_n+1=x${\;}_{n}^{2}$+x_n，则下述和数$\frac{1}{{1+{x_1}}}+\frac{1}{{1+{x_2}}}+\frac{1}{{1+{x_3}}}+…\frac{1}{{1+{x_{2016}}}}$的整数部分的值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由x₁=$\frac{1}{3}$，x_n+1=x_n²+x_n，可得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=x_n+1＞1，因此数列{x_n}单调递增，可得x₄=$\frac{52}{81}$×$（\frac{52}{81}+1）$＞1，于是当n≥4时，x_n＞1，0＜1-$\frac{1}{{x}_{2017}}$＜1．由x_n+1=x_n²+x_n，可得$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$=$\frac{1}{{x}_{n}+1}$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：由x₁=$\frac{1}{3}$，x_n+1=x_n²+x_n，可得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=x_n+1＞1，
∴数列{x_n}单调递增，可得x₂=$\frac{4}{9}$，x₃=$\frac{52}{81}$，x₄=$\frac{52}{81}$×$（\frac{52}{81}+1）$＞1，
∴当n≥4时，x_n＞1．
∴0＜1-$\frac{1}{{x}_{2017}}$＜1．
∵x_n+1=x_n²+x_n，∴$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$=$\frac{1}{{x}_{n}+1}$．
∴和数$\frac{1}{{1+{x_1}}}+\frac{1}{{1+{x_2}}}+\frac{1}{{1+{x_3}}}+…\frac{1}{{1+{x_{2016}}}}$=$（\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}）$+$（\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{x}_{2016}}-\frac{1}{{x}_{2017}}）$=3-$\frac{1}{{x}_{2017}}$=2+1-$\frac{1}{{x}_{2017}}$的整数部分的值为2．
故选：C．

点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法、数列单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题