Question

已知O（0，0），A（1，0），P为线段l：x+y=2，（0＜x≤1）上的一动点．试求点P，使得P对O、A的视角∠APO最大．

Answer 1

分析：设∠APO=θ，则θ可看作PO到PA的角，由tanθ=

KPA- KPO

1+KPA•KPO

，化简变形为

1

2(2-a)-3+ 2 2-a

，运用基本不等式求出它的最大值，即可得到θ的最大值以及此时点P的坐标．

解答：解：设点P（a，2-a ），0＜a≤1，设∠APO=θ，则θ可看作PO到PA的角．
由于PO的斜率为K_PO=

2-a

a

，PA的斜率为 K_PA=

2-a

a-1

，
由一条直线到另一条直线的夹角公式可得 tanθ=

KPA- KPO

1+KPA•KPO

=

2-a a-1 - 2-a a

1+ 2-a a-1 • 2-a a

=

a(2-a)-(a-1)(2-a)

a(a-1)+(2-a)2

=

2-a

2a2-5a+4

=

2-a

2(2-a)2-3(2-a)+2

=

1

2(2-a)-3+ 2 2-a

≤

1

4-3

=1，当且仅当

2

2-a

=1时，即a=1时，等号成立．
故tanθ的 最大值为1，θ的最大值等于

π

4

．
故点P的坐标为（ 1，1）．

点评：本题主要考查一条直线到另一条直线的夹角公式的应用，以及基本不等式的应用，式子的变形是解题的难点，属于中档题．