Question

如图，在三棱锥C-PAB中，AB⊥BC，PB⊥BC，PA=PB=5，AB=6，BC=4，点M是PC的中点，点N在线段AB上，且MN⊥AB．
（Ⅰ）求AN的长；
（Ⅱ）求二面角M-NC-A的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,棱锥的结构特征,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）分别取AB，AC的中点O，Q，连结OP，OQ，设AN=a，以O为原点，以OP为x轴，以OA为y轴，以OQ为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AN．
（Ⅱ）分别求出平面MNC的一个法向量和平面ANC的一个法向量，利用向量法能求出二面角M-NC-A的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）如图，分别取AB，AC的中点O，Q，连结OP，OQ，
设AN=a，以O为原点，以OP为x轴，以OA为y轴，以OQ为z轴，
建立空间直角坐标系，
则由题意知：P（4，0，0），C（0，-3，4），
M（2，-

3

2

，2），N（0，3-a，0），
设N（x₀，0，0），则

AB

=(0，-6，0)，

MN

=（-2，

9

2

-a，-2），
∵MN⊥AB，∴

AB

•

MN

=-2a+（

9

2

-a）（-6）-2•0=0，
解得AN=

9

2

．
（2）∵

MN

=(-2，0，2)，

NC

=(0，-

3

2

，4)，
设平面MNC的一个法向量为

n1

=（x₀，y₀，z₀），
则

m • MN =0 m • NC =0

，∴

-2x0-2z0=0 - 3 2 y0+4z0=0

，
令z₀=3，则x₀=-3，y₀=8，即

n1

=(-3，8，3)，
平面ANC的一个法向量为

n2

=（1，0，0），
则|cos＜

n1

，

n2

＞|=

3

82

=

3 82

82

，
故二面角M-NC-A的余弦值为

3 82

82

．

点评：本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．