Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2．
（1）试求抛物线C的标准方程；
（2）若直线l与抛物线C相交所得的弦的中点为（2，1），试求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先利用抛物线的方程求得准线方程，根据横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2，利用抛物线的定义推断出点到准线的距离也为2，从而求得p，即可求抛物线C的标准方程；
（2）利用点差法，根据直线l与抛物线C相交所得的弦的中点为（2，1），求出斜率，即可试求直线l的方程．

解答： 解：（1）因为抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2，
所以|MF|=xM+

p

2

=1+

p

2

=2，所以p=2，
所以抛物线C的标准方程为y²=4x；
（2）设直线l与抛物线C相交所得的弦为AB，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有

y 2 1 =4x1 y 2 2 =4x2

两式相减并整理得：

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

，
所以kAB=

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=

4

2

=2
由直线的点斜式得：y-1=2（x-2）
所以直线l的方程为：2x-y-3=0．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，考查弦中点问题．涉及抛物线上点到焦点的距离，常用抛物线的定义来解决．