Question

已知不等式（

20

n

-m）•ln（

m

n

）≥0对任意正整数n恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：由题意，

20

n

-m≥0，且ln（

m

n

）≥0或

20

n

-m≤0，且ln（

m

n

）≤0，化简可得n≤m≤

20

n

，或

20

n

≤m≤n，根据n为正整数，可得n=4或5，即可确定实数m的取值范围．

解答： 解：由题意，

20

n

-m≥0，且ln（

m

n

）≥0或

20

n

-m≤0，且ln（

m

n

）≤0，
∴m≤

20

n

，且

m

n

≥1或m≥

20

n

，且0＜

m

n

≤1，
∴n≤m≤

20

n

，或

20

n

≤m≤n，
∵n为正整数，
∴n=4或5，
∴4≤m≤5，
故答案为：[4，5]．

点评：本题考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，由题意，

20

n

-m≥0，且ln（

m

n

）≥0或

20

n

-m≤0，且ln（

m

n

）≤0，是解题的关键．