Question

（本小题满分12分）已知函数在同一半周期内的图象过点，其中为坐标原点，为函数图象的最高点，为函数的图象与轴的正半轴的交点．

（Ⅰ）试判断的形状，并说明理由．

（Ⅱ）若将绕原点按逆时针方向旋转角时，顶点恰好同时落在曲线上（如图所示），求实数的值．

Answer 1

（Ⅰ）为等边三角形; （Ⅱ）

【解析】

试题分析：解法一：（Ⅰ） 因为函数，所以，所以函数的半周期为4，

所以． 又因为为函数图象的最高点，所以点坐标为，所以， 又因为坐标为，所以，所以为等边三角形． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以点,的坐标分别为,，代入，得，且， 所以，即可求出结果.解法二：（Ⅰ）因为函数，所以，所以函数的半周期为4，所以， 因为为函数的图象的最高点，所以点坐标为，所以，所以． 又因为直线的斜率，所以，所以为等边三角形．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以点,的坐标分别为,，

因为点,在函数的图象上， 所以,可得，所以，进而求出结果.解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，为等边三角形．因为函数的图象关于直线对称， 由图象可知，当时，点,恰在函数的图象上． 此时点的坐标为， 所以，所以所求的实数的值为4．

试题解析：解法一：（Ⅰ）为等边三角形． 1分

理由如下：

因为函数，

所以，所以函数的半周期为4，

所以． 2分

又因为为函数图象的最高点，

所以点坐标为，所以， 4分

又因为坐标为，所以，

所以为等边三角形． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

所以点,的坐标分别为,， 7分

代入，得，

且， 9分

所以，结合，，

解得， 11分

所以，所以所求的实数的值为4． 12分

解法二：（Ⅰ）为等边三角形． 1分

理由如下：

因为函数，

所以，所以函数的半周期为4，所以， 2分

因为为函数的图象的最高点，

所以点坐标为，所以，所以． 4分

又因为直线的斜率，所以，

所以为等边三角形． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

所以点,的坐标分别为,， 7分

因为点,在函数的图象上，

所以, 8分

所以, 9分

消去得， ，

所以，

所以，所以， 10分

又因为 ，所以，所以， 11分

所以．所以所求的实数的值为4． 12分

解法三：（Ⅰ）同解法一或同解法二；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，为等边三角形．

因为函数的图象关于直线对称， 8分

由图象可知，当时，点,恰在函数的图象上． 10分

此时点的坐标为， 11分

所以，所以所求的实数的值为4． 12分.

考点：1.三角函数图象与性质；2.数形结合思想.