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【题目】如图,已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE= ,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.
(1)证明:AG∥平面BDE.
(2)求平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值.

【答案】
(1)证明:∵平面ABCD⊥平面BCEG,平面ABCD∩平面BCEG=BC

CE⊥BC,CE平面BCEG,

∴EC⊥平面ABCD,

以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,CE为z轴,建立空间直角坐标系,

B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,2),A(2,1,0),G(0,2,1),

设平面BDE的法向量为 =(x,y,z),

=(0,2,﹣2), =(2,0,﹣2),

,取x=1,得 =(1,1,1),

=(﹣2,1,1),∴ =0,∴

∵AG平面BDE,∴AG∥平面BDE


(2)解:设平面ADE的法向量 =(a,b,c),

=(0,1,0), =(﹣2,0,2),

,取x=1,得 =(1,0,1),

由(1)得平面BDE的法向量为 =(1,1,1),

设平面BDE和平面ADE所成锐二面角的平面角为θ,

则cosθ= = =

∴平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值为


【解析】(1)以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,CE为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明AG∥平面BDE.(2)求出平面ADE的法向量和平面BDE的法向量,利用向量法能求出平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值.
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定,需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行才能得出正确答案.

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C.2
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A.①
B.②
C.①②
D.①②③

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