Question

如图,几何体EABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.

(1)求证:BE=DE;

(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.

Answer 1

证明:(1)如图所示,取BD的中点O,连接CO,EO.

由于CB=CD,所以CO⊥BD.

又EC⊥BD,EC∩CO=C,

CO,EC⊂平面EOC,

所以BD⊥平面EOC,

因此BD⊥EO.

又O为BD的中点,所以BE=DE.

(2)法一　如图所示,取AB的中点N,连接DM,DN,MN.

因为M是AE的中点,

所以MN∥BE.

又MN⊄平面BEC,

BE⊂平面BEC,

所以MN∥平面BEC.

又因为△ABD为正三角形,

所以∠BDN=30°.

又CB=CD,∠BCD=120°,

因此∠CBD=30°.所以DN∥BC.

又DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,

所以DN∥平面BEC.

又MN∩DN=N,

所以平面DMN∥平面BEC.

又DM⊂平面DMN,

所以DM∥平面BEC.

法二　如图所示,延长AD,BC交于点F,连接EF.

因为CB=CD,∠BCD=120°,

所以∠CBD=30°.

因为△ABD为正三角形,

所以∠BAD=∠ABD=60°,∠ABC=90°,

因此∠AFB=30°,所以AB=AF.

又AB=AD,所以D为线段AF的中点,

连接DM,由点M是线段AE的中点,得DM∥EF.

又DM⊄平面BEC,EF⊂平面BEC,

所以DM∥平面BEC.