Question

7．已知{a_n}是公差为1的等差数列，a₁，a₅，a₂₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$+a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，可得数列{a_n}的通项公式；
（2）求得b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$+a_n=3ⁿ+n，由数列的求和方法：分组求和，结合等差（比）数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）由a₁，a₅，a₂₅成等比数列，
可得a₅²=a₁a₂₅，
则（a₁+4d）²=a₁（a₁+24d），
由d=1，代入上式即为（a₁+4）²=a₁（a₁+24），
解得a₁=1，
则a_n=a₁+（n-1）d=1+n-1=n；
（2）b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$+a_n=3ⁿ+n，
前n项和T_n=（3+3²+…+3ⁿ）+（1+2+3+…+n）
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$+$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$+$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的性质和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．