Question

已知f（x）=（2x-x²）e^x，给出以下四个结论：
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；
②f（-

2

）是极小值，f（

2

）是极大值；
③f（x）没有最小值，也没有最大值；
④f（x）有最大值，没有最小值．
其中判断正确的是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：令f（x）＞0可解x的范围；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确．根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③不正确，④正确．从而得到答案．

解答： 解：由f（x）＞0可得（2x-x²）e^x＞0
∵e^x＞0，∴2x-x²＞0，∴0＜x＜2，故①正确；
f′（x）=e^x（2-x²），由f′（x）=0得x=±

2

，
由f′（x）＜0得x＞

2

或x＜-

2

，由f′（x）＞0得-

2

＜x＜

2

，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-

2

），（

2

，+∞）；单调增区间为（-

2

，

2

）．
∴f（x）的极大值为f（

2

），极小值为f（-

2

），故②正确．
∵x＜-

2

时，f（x）＜0恒成立．
∴f（x）无最小值，但有最大值f（

2

）
∴③不正确，④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题的考点是利用导数研究函数的极值，主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于0，但导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点．