Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，则g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+…+g（

2013

2014

）（　　）

• A、2011
• B、2012
• C、2013
• D、2014

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0求出x的值，可得g（1-x）+g（x）=2，从而得到g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+…+g（

2013

2014

）的值．

解答： 解：∵g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，
∴g′（x）=x²-x-3，由g^″（x）=2x-1=0，得x=

1

2

．
∴g（

1

2

）=1
∴g（x）的对称中心为（

1

2

，1），
∴g（1-x）+g（x）=2，
∴g（

1

2014

）+g（

2013

2014

）=g（

2

2014

）+g（

2012

2014

）=…=2g（

1007

2014

）=2g（

1

2

）=2．
∴g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+…+g（

2013

2014

）=2013
故选C．

点评：本题是新定义题，考查了函数导函数的零点的求法，考查了函数的性质，解答的关键是寻找函数值所满足的规律，是中档题．