练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知等差数列{an}中，a1=-2，公差d=3；数列{bn}中，Sn为其前n项和，满足：2nSn+1=2n（n∈N+）
    （Ⅰ）记An=
    1
    anan+1
    ，求数列An的前n项和S；
    （Ⅱ）求证：数列{bn}是等比数列；
    （Ⅲ）设数列{cn}满足cn=anbn，Tn为数列{cn}的前n项积，若数列{xn}满足x1=c2-c1，且xn=
    Tn+1Tn-1-
    T
    2
    n
    TnTn-1
    (n∈N+，n≥2)    ，求数列{xn}的最大值．
    考点：数列的求和,数列的函数特性,等比关系的确定
    专题：等差数列与等比数列
    分析：（I）利用等差数列的通项公式可得an=3n-5．利用裂项可得An=
    1
    3
    (
    1
    3n-5
    -
    1
    3n-2
    )    ，利用“裂项求和”可得数列An的前n项和S．
    （II）由2nSn+1=2n（n∈N+），可得Sn=1-
    1
    2n
    ．当n=1时，b1=S1=
    1
    2
    ；当n≥2时，bn=Sn-Sn-1．利用等比数列的通项公式即可证明．
    （III）数列{cn}满足cn=anbn=
    3n-5
    2n
    ．数列{xn}满足x1=c2-c1=
    5
    4
    ．当n≥2时，xn=
    Tn+1
    Tn
    -
    Tn
    Tn-1
    =cn+1-cn=
    8-3n
    2n+1
    ．当n≤3时，数列{xn}单调递减；当n≥4时，数列{xn}单调递增，但是xn＜0，即可得出．
    解答： （I）解：∵等差数列{an}中，a1=-2，公差d=3，
    ∴an=-2+3（n-1）=3n-5．
    ∴An=
    1
    anan+1
    =
    1
    (3n-5)(3n-2)
    =
    1
    3
    (
    1
    3n-5
    -
    1
    3n-2
    )    ，
    ∴数列An的前n项和S=
    1
    3
    [(-
    1
    2
    -1)+(1-
    1
    4
    )    +(
    1
    4
    -
    1
    7
    )    +…+(
    1
    3n-5
    -
    1
    3n-2
    )]
    =
    1
    3
    (-
    1
    2
    -
    1
    3n-2
    )
    =-
    n
    6n-4
    ．
    （II）证明：由2nSn+1=2n（n∈N+），可得Sn=1-
    1
    2n
    ．
    当n=1时，a1=S1=
    1
    2
    ；
    当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(1-
    1
    2n
    )-(1-
    1
    2n-1
    )    =
    1
    2n
    ．
    当n=1时也成立．
    ∴bn=
    1
    2n
    =
    1
    2
    ×(
    1
    2
    )n-1    ．
    ∴数列{bn}是等比数列，首项为
    1
    2
    ，公比为
    1
    2
    ．
    （III）数列{cn}满足cn=anbn=
    3n-5
    2n
    ．
    数列{xn}满足x1=c2-c1=
    1
    22
    -
    -2
    2
    =
    5
    4
    ．
    当n≥2时，xn=
    Tn+1Tn-1-
    T
    2
    n
    TnTn-1
    =
    Tn+1
    Tn
    -
    Tn
    Tn-1
    =cn+1-cn=
    3n-2
    2n+1
    -
    3n-5
    2n
    =
    8-3n
    2n+1
    ．
    当n=1时也成立．
    当n≤3时，数列{xn}单调递减；当n≥4时，数列{xn}单调递增，但是xn＜0．
    ∴数列{xn}的最大值是x1=
    5
    4
    ．
    点评：本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    若不等式（x-1）2＜logax在x∈（0，1）内恒成立，则实数a的取值范围是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知：△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，∠A=60°，S△ABC=
    		3
    ，则b+c=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）对于一切x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且f（x）在R上为减函数，当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2
    （1）求f（0），f（2）的值．    
    （2）判定函数的奇偶性．
    （3）若f（x2-2x+3）＜f（x2+x），求x的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    若关于x，y的不等式组
    x+y-2＜0
    x+a＞0
    y-a＞0
    所表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0+2y0＜1，则实数a的取值范围是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    ，则g（
    1
    2014
    ）+g（
    2
    2014
    ）+…+g（
    2013
    2014
    ）（　　）
    A、2011B、2012
    C、2013D、2014

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    若sinα=-
    		2
    2
    ，且cos（α-β）=
    1
    2
    （β＞0），则满足上述条件的β的最小值为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    化简：
    （1）（1+tan2α）cos2α；
    （2）
    1+sinα
    1-sinα
    -
    1-sinα
    1+sinα
    ，其中α为第二象限角．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    若x，y∈R+，x+y=1，则x•y有（　　）
    A、最小值
    1
    2
    B、最大值
    1
    2
    C、最小值
    1
    4
    D、最大值
    1
    4

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案