Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a≥0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[﹣2，2]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x²+2ax﹣a²=
当a=0时f′（x）≥0
∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）
当a＞0时
由f′（x）＞0得x＜﹣a或，
由f′（x）＜0得，
∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣a），，
单调递减区间为
（Ⅱ）当a=0时由（1）知函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，
则f（x）在[﹣1，1]上没有极值点；
当a＞0时∵
由（1）知f（x）在上单调递增，在上单调递减；
则要f（x）在[﹣1，1]上没有极值点，
则只需f′（x）=0在（﹣1，1）上没有实根．
∴，解得a≥3
综上述可知：a的取值范围为[3，+∞）∪{0}
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴≤﹣3
又x∈[﹣2，2]
由（1）的单调性质知f（x）_max=max{f（﹣2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0
f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m
∴f（x）≤1在[﹣2，2]上恒成立
∴f（x）_max^≤1
即-8+4a+2a²+m≤1
即m≤9-4a-2a²在a∈[3，6]上恒成立，
∴9-4a-2a²的最小值为-87
∴m≤-87
故答案为（Ⅰ）当a=0时f′（x）≥0，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），
当a＞0时函数f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为，
（Ⅱ）a的取值范围为：[3，+∞）∪{0}，
（Ⅲ）m的取值范围为：m≤﹣87．