Question

曲线C是平面内到直线l₁：x=-1和直线l₂：y=1的距离之积等于常数k²（k＞0）的点的轨迹，设曲线C的轨迹方程f（x，y）=0．
（1）求曲线C的方程f（x，y）=0
（2）定义：若存在圆M使得曲线f（x，y）=0上的每一点都落在圆M外或圆M上，则称圆M为该曲线的收敛圆，判断曲线f（x，y）=0是否存在收敛圆？若存在，求出其方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,点与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）利用题意及点到直线间的距离公式列出关于动点坐标的方程，再化简即可；
（2）根据不等式得：（x+1）²+（y-1）²≥2|x+1||y-1|=2k²（k＞0），再转化为几何意义，根据收敛圆的定义即可判断曲线f（x，y）=0存在收敛圆，并求出收敛圆的方程．

解答： 解：（1）由题意设动点坐标为（x，y），
因为到直线l₁：x=-1和直线l₂：y=1的距离之积等于常数k²（k＞0），
所以|x+1||y-1|=k²，
则曲线C的方程是：|x+1||y-1|=k²（k＞0）；
（2）因为（x+1）²+（y-1）²≥2|x+1||y-1|=2k²（k＞0），
所以点P（x，y）在圆（x+1）²+（y-1）²=2k²外或上，
则曲线f（x，y）=0存在收敛圆为：（x+1）²+（y-1）²=2k²（k＞0）．

点评：本题考查利用直接法求出动点的轨迹方程，点到圆的位置关系，以及不等式的应用，属于中档题．