Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁的中点为O₁，AB=BC=2，AA₁=3，求异面直线BO₁与A₁D₁所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间角,空间向量及应用

分析：连接BA₁，BC₁，由于A₁C₁的中点为O₁，运用中点的向量表示形式，由向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，以及向量的夹角公式，即可求得所成的角．

解答： 解：连接BA₁，BC₁，
由于A₁C₁的中点为O₁，
则有

BO1

=

1

2

（

BA1

+

BC1

）=

1

2

（

AA1

-

AB

+

CC1

-

CB

）
=

1

2

（

AA1

-

AB

+

AA1

+

AD

）
=

1

2

（2

AA1

-

AB

+

AD

）
则

A1D1

•

BO1

=

1

2

AD

•（2

AA1

-

AB

+

AD

）
=

AD

•

AA1

-

1

2

AD

•

AB

+

1

2

AD

2
=0-0+

1

2

×4=2，
|

BO1

|=

1

2

4 AA1 2+ AB 2+ AD 2

=

1

2

4×32+22+22

=

11

．
则有cos＜

A1D1

，

BO1

＞=

A1D1 • BO1

| A1D1 |•| BO1 |

=

2

2× 11

=

11

11

．
则异面直线BO₁与A₁D₁所成角的余弦值为

11

11

．

点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查运用空间向量的方法求异面直线所成的角，考查运算能力，属于中档题．