Question

在平行四边形ABCD中，A（1，1），

AB

=（6，0），点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P（x，y）．当|

AB

|=|

AD

|时，求x，y满足的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：如图所示，由于平行四边形ABCD中，A（1，1），

AB

=（6，0），可得

OB

=

OA

+（6，0），点M是线段AB的中点，DC∥AB，可得

DP

PB

=

DC

MB

=

2

1

，因此

DP

=2

PB

，可得

AD

=（3x-15，3y-3）．利用|

AB

|=|

AD

|，即可得出．

解答： 解：如图所示，
∵平行四边形ABCD中，A（1，1），

AB

=（6，0），
∴

OB

=

OA

+（6，0）=（7，1），
∵点M是线段AB的中点．
又∵DC∥AB，
∴

DP

PB

=

DC

MB

=

2

1

，
∴

DP

=2

PB

，
∴

OD

=

OP

-2

PB

=（x，y）-2（7-x，1-y）=（3x-14，3y-2）．
∴

AD

=（3x-15，3y-3）．
∵|

AB

|=|

AD

|，
∴

(3x-15)2+(3y-3)2

=6．
化为（x-5）²+（y-1）²=4，（x≠3，7）．

点评：本题查克拉平行四边形的性质、向量的坐标运算、向量模的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．