Question

【题目】已知.

（1）若有两个零点，求的范围；

（2）若有两个极值点，求的范围；

（3）在（2）的条件下，若的两个极值点为 ，求证： .

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 见解析

【解析】试题分析:（1）由题意函数必有极值点，且极大值大于零，列对应不等式，解得的范围；（2）先求导数，得有两个改变符号的零点，即导函数必有极值点，且极大值大于零，列对应不等式，解得的范围；（3）由（2）再利用极值点条件构造函数，最后利用导数研究函数单调性，根据最值证不等式

试题解析：方法一：

（1）

有两个零点， 有两个零点

时在上单调，最多有一个零点，不合题意

在上↑，在上↓

又时，

必有两个零点

（2）符号的零点

设则

时， 恒成立， 在上单调，最多有一个零点，不合题意

由得： ，

在上↑，在上↓

，即

又

在各有一个零点

（3）由（2），结合h(1)=1-2a>0，知

设

在上↓，

方法二：分离参数法

（1），两图象有两交点

令

当

当，

结合图像， 。

（2）有两个改变符号的零点

等价于对应的两函数的图像有两交点

令

当

当

结合图象，

（3）由（2）