(本小题满分12分)已知函数 ,
(I)求函数的定义域;
(II)若函数,求的值;
(III)若函数的最小值为,求的值.
(1)(-3,1).(2).(3).
解析试题分析: (I)由对数的真数大于零可得,从而得到函数的定义域.
(II)根据先根据对数的运算法则得到,再由f(x)=0,得,解此方程可得x值,要注意验证是否在定义域内.
(III)先利用对数的运算法则把f(x)化简为 ,
因为真数,再根据在定义域内是减函数,从而可得,因而=-4,解此对数方程可得a的值.
(1)要使函数有意义:则有,解之得:,
所以函数的定义域为:(-3,1).……………………………………………4分
(2)函数可化为, 由,得,
即,;…………………………………………6分
,的值是.…………………………8分
(3)函数可化为:,
;……………………………………………9分
,,即;…………10分
由,得,.………………………………12分
考点:对数函数的定义域,值域,对数的运算法则, 对数方程及不等式的解法.
点评:掌握对数函数的定义域,值域,单调性是研究此类问题的前提,一般地说:
,其定义域为,值域为R,当a>1时,对数函数是增函数;
当0<a<1时,对数函数是减函数。
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(本小题满分14分)设函数(),.
(Ⅰ)令,讨论的单调性;
(Ⅱ)关于的不等式的解集中的整数恰有3个,求实数的取值范围;
(Ⅲ)对于函数与定义域上的任意实数,若存在常数,使得和都成立,则称直线为函数与的“分界线”.设,,试探究与是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.
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(本题满分12分)
为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为(a为常数),
如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:
(Ⅰ)从药物释放开始,求每立方米空气中的含药量
y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式?
(Ⅱ)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室.
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(本小题满分14分)设为奇函数,为常数.
(1)求的值;
(2)求的值;
(3)若对于区间[3,4]上的每一个的值,不等式>恒成立,求实数的取值范围.
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(本小题满分12分)
已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x+2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)画出f(x)的图象,并指出f(x)的单调区间.
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