Question

3．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1），f（4），f（8）的值；
（2）证明：f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）
（3）函数f（x）当x₁，x₂∈（0，+∞）时都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0．若f（1）+f（x-2）≤3，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（xy）=f（y）+f（x）且f（2）=1，令x=1，y=2，可得f（2）=f（1）+f（2）得f（1），可得f（4）=f（2）+f（2），f（8）=f（2）+f（4）．
（2）由f（x•y）=f（x）+f（y）知，$f（x）=f（\frac{x}{y}•y）=f（\frac{x}{y}）+f（y）$，即可证明．
（3）当x₁，x₂∈（0，+∞）时，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0．可得函数f（x）在（0，+∞）为增函数，由f（1）+f（x-2）≤3，化为f（x-2）≤f（8），利用单调性即可得出．

解答 （1）解：由f（xy）=f（y）+f（x）且f（2）=1，
令x=1，y=2，∴f（2）=f（1）+f（2）得f（1）=0，
∴f（4）=f（2）+f（2）=2，f（8）=f（2）+f（4）=3
（2）证明：由f（x•y）=f（x）+f（y）知，
$f（x）=f（\frac{x}{y}•y）=f（\frac{x}{y}）+f（y）$，
∴$f（\frac{x}{y}）=f（x）-f（y）$．
（3）解：∵当x₁，x₂∈（0，+∞）时，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0．
∴函数f（x）在（0，+∞）为增函数，由f（1）+f（x-2）≤3，化为f（x-2）≤f（8），
则$\left\{\begin{array}{l}x-2＞0\\ x-2≥8\end{array}\right.$，∴{x|2＜x≤10}．

点评 本题考查了抽象函数的单调性、求值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．