Question

7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是正三角形，侧棱BB₁⊥平面ABC，D是棱BC的中点，点M在BB₁棱上，且CM⊥AC₁，AB=1，BB₁=2．
（1）求三棱锥D-ABC₁的体积；
（2）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（3）求证：CM⊥C₁D．

Answer 1

分析 （1）侧棱BB₁⊥平面ABC，利用${V}_{D-AB{C}_{1}}$=${V}_{{C}_{1}-ABD}$=$\frac{1}{3}•B{B}_{1}×{S}_{△ABD}$即可得出．
（2）连接A₁C交AC₁于点E，连接ED，可得AE=EC₁，利用三角形中位线定理可得ED∥A₁B，利用线面平行的判定定理可得：A₁B∥平面AC₁D；
（3）由△ABC是正三角形，BD=DC，可得AD⊥DC，由侧棱BB₁⊥平面ABC，可得BB₁⊥AD，于是AD⊥平面BCC₁B₁，可得：CM⊥平面AC₁D．即可证明．

解答 （1）解：∵侧棱BB₁⊥平面ABC，
∴${V}_{D-AB{C}_{1}}$=${V}_{{C}_{1}-ABD}$=$\frac{1}{3}•B{B}_{1}×{S}_{△ABD}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}×sin6{0}^{°}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
（2）证明：连接A₁C交AC₁于点E，连接ED，则AE=EC₁，
又BD=DC，
∴ED∥A₁B，
又A₁B?平面AC₁D，又ED?平面AC₁D，
∴A₁B∥平面AC₁D；
（3）证明：∵△ABC是正三角形，BD=DC，
∴AD⊥DC，
∵侧棱BB₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥AD，
又BB₁∩BC=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∴AD⊥CM，
∵CM⊥AC₁，
又AD∩AC₁=A，∴CM⊥平面AC₁D．
∴CM⊥C₁D．

点评 本题考查了正三角形与平行四边形的性质、线面面面平行垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．