Question

13．已知不等式|2x+2|-|x-1|＞a．
（1）当a=0时，求不等式的解集
（2）若不等式在区间[-4，2]内无解．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）求得f（x）=|2x+2|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x＜-1}\\{3x+1，-1≤x＜1}\\{x+1，x≥1}\end{array}\right.$ 在区间[-4，2]内的值域，结合|2x+2|-|x-1|＞a无解，求得a的范围．

解答 解：（1）当a=0时，不等式即|2x+2|-|x-1|＞0，
可得 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-2x-2-（1-x）＞0}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x＜1}\\{2x+2-（1-x）＞0}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{2x+2-（x-1）＞0}\end{array}\right.$③．
解①求得 x＜-3，解②求得-$\frac{1}{3}$＜x＜1，解③求得 x≥1．
综上可得，原不等式的解集为{x|x＜-3，或x＞-$\frac{1}{3}$}．
（2）当x∈[-4，2]，f（x）=|2x+2|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x＜-1}\\{3x+1，-1≤x＜1}\\{x+1，x≥1}\end{array}\right.$ 的值域为[-2，3]，
而不等式|2x+2|-|x-1|＞a无解，故有a≤3．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想；还考查了分段函数的应用，求函数的值域，属于中档题．