Question

设正数列的前项和为，且．
(1)求数列的首项；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数．

Answer 1

(1) ；(2) ；(3) .

解析试题分析：(1) ,所以在中, ,令,可得关于的方程,解之可得.
(2) 在中, 用代替,得：
于是有方程组，两式分别平方再相减可得，即：
由此探究数列的特点，从而求其通项公式；
（3）根据数列数列的通项公式特点，有
故可用拆项法化简数列的前项和，并由的范围求出的值.
试题解析：(1)当时，由且，解得           2分
(2)由，得 ①
∴      ②
②-①得：
化简，得                     4分
又由，得
∴，即                   5分
∴数列是以1为首项，公差为2的等差数列               6分
∴，即                 8分
(3)           10分
∴

 
                                   12分
∴要使对所有都成立，只需，即
∴满足条件的最小正整数．                     14分
考点：1、数列通项与的关系；2、拆项求和.