Question

6．抛物线y²=2px（p＞0）焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径作圆C，圆C与抛物线x轴上方部分交于M，N两点；设圆C半径为R，证明$\frac{{|{FM}|+|{FN}|}}{R}$为定值；根据类比推理，椭圆也具有此性质，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），F为左焦点，求$\frac{{|{FM}|+|{FN}|}}{R}$值（结果用离心率e表示）

Answer 1

分析 设圆C的圆心坐标为C（$\frac{p}{2}$+R，0），圆C的方程为：（x-$\frac{p}{2}$-R）²+y²=R²，与抛物线方程联立，得x²-（2R-P）x+$\frac{p^2}{4}$+PR=0，利用韦达定理可得$\frac{{|{FM}|+|{FN}|}}{R}$=2；同理，类比可得椭圆中，$\frac{{|{FM}|+|{FN}|}}{R}$=$\frac{2}{e}$．

解答 解：依题意，圆C的圆心坐标为C（$\frac{p}{2}$+R，0），圆C的方程为：（x-$\frac{p}{2}$-R）²+y²=R²，
与抛物线的方程y²=2px（p＞0）联解得x²-（2R-P）x+$\frac{p^2}{4}$+PR=0，
设 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
有 x₁+x₂=2R-P，所以|MF|+|NF|=x₁+x₂+P=2R，
从而$\frac{{|{FM}|+|{FN}|}}{R}$=2；
椭圆：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），圆C：（x-R+c）²+y²=R²，
联立解得e²x²+2（c-R）x+a²-2RC=0，
设 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则有x₁+x₂=$\frac{2R-2c}{e^2}$，
因为|MF|=$\sqrt{（{x_1}+c{）^2}+{y_1}^2}$=$\sqrt{{e^2}{x_1}^2+2c{x_1}+{a^2}}$=a+ex₁，
同理|NF|=a+ex₂，
所以|MF|+|NF|=e（ x₁+x₂）+2a=$\frac{2R}{e}$，
从而$\frac{{|{FM}|+|{FN}|}}{R}$=$\frac{2}{e}$．

点评 本题考查抛物线的性质与椭圆的性质的应用，考查类比思想与韦达定理的应用，考查椭圆的定义的应用，属于难题．