Question

12．已知f₁（x）=（x²+2x+1）e^x，f₂（x）=[f₁（x）]′，f₃（x）=[f₂（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N^*．设f_n（x）=（a_nx²+b_nx+c_n）e^x，则c₁₀₀=（　　）

• A． 9903
• B． 9902
• C． 9901
• D． 9900

Answer 1

分析 先求导，再知道c_n的通项公式即可求出答案．

解答 解：∵f₁（x）=（x²+2x+1）e^x，
∴f₂（x）=[f₁（x）]′=（x²+4x+3）e^x，
f₃（x）=[f₂（x）]′=（x²+6x+7）e^x，
f₄（x）=[f₃（x）]′=（x²+8x+13）e^x，
数列{c_n}为1，3，7，13，…，
∵1=1×（1-1）+1，3=（2-1）×2+1，7=（3-1）×3+1，13=（4-1）×4+1，
∴c_n=n（n-1）+1=n²-n+1，
∴f_n（x）=（x²+2nx+n²-n+1）e^x，
∴c₁₀₀=100²-100+1=9901，
故选：C

点评 本题考查了导数的运算法则和归纳推理的问题，属于中档题．