Question

（本小题满分13分）己知函数

（1）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；

（2）若是的极值点，求在上的最大值；

（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数的图象与函数的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由

 

Answer 1

（1） ；（2） 在上的最大值为；（3）存在，实数b的取值范围为且．

【解析】

试题分析：（1）若在区间上是增函数，求实数的取值范围，可利用导数法，故对函数求导函数，利用在区间上是增函数，可得在区间上恒成立，即在上恒成立，即，求出最小值，从而可求实数的取值范围；（2）若是的极值点，求在上的最大值，先求出函数的解析式，可利用是的极值点，求出的值，再求出函数的极值，把极值同两个端点的值进行比较得到最值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数的图象与函数的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由，这是探索性命题，一般假设其存在，本题假设存在实数b，使得函数的图象与函数的图象恰有3个交点，即恰有3个不等实根，注意到是其中一个根，只需有两个不等零的不等实根．，可由二次方程得，从而可求的实数b的取值范围．

试题解析：（1） 在［1，＋）单增 在［1，＋）上恒有即在上恒成立，则必有且 4分

（2），即，令

，则

x	1	（1,3）	3	（3,4）	4
		_	0	+
	-6		-18		-12

 

在［1，4］上最大值 8分

（3）函数的图象与图象恰有3个交点，即恰有3个不等实根，，其中是其中一个根

，有两个不等零的不等实根．

∴， 且 13分

考点：函数单调性，函数最值，方程的根．