Question

【题目】一个圆内有6000个点，其中任三点都不共线；①能否把这个圆分成2000块，使每块恰含有三个点，如何分？②若每块中三点满足：两两间的距离皆为整数且不超过9，则以每块中的三点为顶点作三角形，这些三角形中大小完全一样的三角形至少有多少个？

Answer 1

【答案】22

【解析】

①圆内6000个点可确定条直线.因是个有限的数，所以一定存在着圆的一条切线，使它不平行于条直线中的任何一条，记这条切线为，将在圆上作平行移动，显然6000个点将被逐个越过（如同时越过两个点，则连结此两点的直线必与平行，这与取法不合），于是，在越过3个点且未遇上第四个点时作圆的一条弦，同理，当越过第4，5，6点时作弦，如此可作出1999条弦，将圆分成2000块，每块都含三个点，每这样的三点连成一个三角形，共得到2000个三角形.

②可以求得：边长均为整数，最长边不超过9的三角形的个数为95，设三边长为，均为整数.

当，且时，有

的取值	可取之值	三角形个数
5	5	1
6	4，5，6	3
7	3，4，5，6，7	5
8	2，3，4，5，…，8	7
9	2，3，4，5，…，9	9

即当时，可得不同的三角形25个.

当，且时，有

5	4，5	2
6	3，4，5，6	4
7	2，3，4，5，6，7	6
8	1，2，3，4，…，8	8

即当时，可得不同的三角形20个，同理可得，当，6，5，4，3，2，1时，不同的三角形的个数分别是16，12，9，6，4，2，1个.

故边长均为整数，且最长边不超过9的大小不同的三角形总数是

个.

2000个三角形中大小完全一样的三角形至少应有个.