Question

15．已知点F为抛物线E：x²=4y的焦点，直线l为准线，C为抛物线上的一点（C在第一象限），以点C为圆心，|CF|为半径的圆与y轴交于D，F两点，且△CDF为正三角形．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设P为l上任意一点，过P作抛物线x²=4y的切线，切点为A，B，判断直线AB与圆C的位置关系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出点C的坐标，再代入到抛物线的解析式中求出半径，问题得以解决；
（Ⅱ）设P（t，-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据导数和几何意义，求出A，B为切点的切线方程，即可得到直线AB的方程，再利用点到直线的距离，和半径的关系判断直线和圆的位置关系．

解答 解：（I）由已知F（0，1），设圆C的半径为r，
因为△CDF为正三角形，C（$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，|r-1|），
因为点C在抛物线x²=4y上，
得$\frac{3}{4}$r²=4r-4  即3r²-16r+16=0，
解得r=4或r=$\frac{4}{3}$
所以圆C的方程为C₁：（x-2$\sqrt{3}$）²+（y-3）²=16，
或C₂：（x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+（y-$\frac{1}{3}$）²=$\frac{16}{9}$ 
（II）（方法一）
因为准线l为y=-1，设P（t，-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，所以y′=$\frac{x}{2}$，
A（x₁，y₁）为切点的切线方程为：y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），y₁=$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$，即y=$\frac{{x}_{1}}{2}$x-y₁，
因为切线过P（t，-1），得-1=$\frac{{x}_{1}}{2}$t-y₁，①
同理可得-1=$\frac{{x}_{2}}{2}$t-y₂，②
所以直线AB方程为-1=$\frac{1}{2}$xt-y，即tx-2y+2=0，
圆心C₁（2$\sqrt{3}$，3），r₁=4，C₁到直线距离d₁=$\frac{|2\sqrt{3}t-4|}{\sqrt{4+{t}^{2}}}$
可得d₁²-16=$\frac{-4（t+2\sqrt{3}）^{2}}{{t}^{2}+4}$≤0
所以t=-2$\sqrt{3}$时，d₁=4，直线AB与圆C₁相切．
t≠-2$\sqrt{3}$时，d₁＜4直线AB与圆C₁相交．
所以直线AB与圆C₂相交或相切．
同理可证，直线AB与圆C₂相交或相切．
所以直线AB与圆C₁，C₂相交或相切．
（注：因为直线AB过定点f（0，1），且斜率$\frac{t}{2}$∈R
因为F（0，1）在圆C₁，C₂相上，所以直线AB与圆C₁，C₂相交或相切．这样答扣1分）
（方法二）设设P（t，-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为y=kx+b，代入抛物线E的方程得x²-4kx-4b=0  所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
因为y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，所以y′=$\frac{x}{2}$，
A（x₁，y₁）为切点的切线方程为：y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），y₁=$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$，即y=$\frac{{x}_{1}}{2}$x-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$，①
B（x₂，y₂）为切点的切线方程为y=$\frac{{x}_{2}}{2}$x-$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$②
联立①②得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=2k}\\{y=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}=-b}\end{array}\right.$                   
所以$\left\{\begin{array}{l}{2k=t}\\{-b=-1}\end{array}\right.$  所以$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{t}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
所以直线AB方程为y=$\frac{1}{2}$xt+1，
以下与（方法一）相同

点评 本题考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查直线与圆，直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，抽象思维能力，考查数形结合思想，属于中档题．