Question

20．已知等差数列{a_n}的前三项为a-1，4，2a，记前n项和为S_n．
（1）若S_k=30，求a和k的值；
（2）设b_n=$\frac{Sn}{n}$，求b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1的值．

Answer 1

分析 （1）由等差中项的性质和等差数列的前n项和公式即可求出；
（2）求出等差数列的前n项和，化简得到{b_n}是等差数列，即可求出b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1的和．

解答 解　（1）由已知得a₁=a-1，a₂=4，a₃=2a，
又a₁+a₃=2a₂，
∴（a-1）+2a=8，即a=3．
∴a₁=2，公差d=a₂-a₁=2．  
由S_k=ka₁+$\frac{k（k-1）}{2}$d，得2k+$\frac{k（k-1）}{2}$×2=30，
即k²+k-30=0，解得k=5或k=-6（舍去）．
∴a=3，k=5．
（2）由S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，得S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²+n．
∴b_n=$\frac{Sn}{n}$=n+1．
∴{b_n}是等差数列．
∴b_4n-1=（4n-1）+1=4n，
则b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1=4+8+12+…+4n=$\frac{（4+4n）n}{2}$．
∴${b_3}+{b_7}+{b_{11}}+…+{b_{4n=1}}=2{n^2}+2n$．

点评 本题考查等差数列的性质和求和公式，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．