Question

11．已知O为坐标原点，$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2（a＞b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，若|OB|，|OF₂|，|AB|成等比数列，椭圆C上的点到焦点F₂的最短距离为$\sqrt{6}-2$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设T为直线x=-3上任意一点，过F₁的直线交椭圆C于点P，Q，且$\overrightarrow{T{F_1}}•\overrightarrow{PQ}=0$，求$\frac{{|{T{F_1}}|}}{{|{PQ}|}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由|OB|，|OF₂|，|AB|成等比数列，可得$|O{F}_{2}{|}^{2}$=|OB|•|AB|，即${c}^{2}=b\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$； 设M（x₀，y₀）为椭圆C上一点，则$|M{F}_{2}{|}^{2}$=$（{x}_{0}-c）^{2}+{y}_{0}^{2}$=$\frac{1}{{a}^{2}}（c{x}_{0}-{a}^{2}）^{2}$≥$（\sqrt{6}-2）^{2}$，-a≤x₀≤a，当x₀=a时，a-c=$\sqrt{6}$-2；及其a²=b²+c²，解出即可得出椭圆C的标准方程．
（II）由（I）可知：F₁（-2，0），由$\overrightarrow{T{F_1}}•\overrightarrow{PQ}=0$，可得$\overrightarrow{T{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{PQ}$，设T（-3，m），可得|TF₁|=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，直线TF₁的斜率${k}_{T{F}_{1}}$=$\frac{m-0}{-3-（-2）}$=-m，当m≠0时，直线PQ的斜率k_PQ=$\frac{1}{m}$，直线PQ的方程是x=my-2．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立化为：（m²+3）y²-4my-2=0，|PQ|=$\sqrt{{m}^{2}+1}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，利用根与系数的关系代入化简，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵|OB|，|OF₂|，|AB|成等比数列，∴$|O{F}_{2}{|}^{2}$=|OB|•|AB|，
∴${c}^{2}=b\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，①
设M（x₀，y₀）为椭圆C上一点，则$|M{F}_{2}{|}^{2}$=$（{x}_{0}-c）^{2}+{y}_{0}^{2}$=$（{x}_{0}-c）^{2}$+${b}^{2}（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}）$=$\frac{1}{{a}^{2}}（c{x}_{0}-{a}^{2}）^{2}$≥$（\sqrt{6}-2）^{2}$，-a≤x₀≤a，
当x₀=a时，a-c=$\sqrt{6}$-2，②
及其a²=b²+c²，解得a²=6，b²=2．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（II）由（I）可知：F₁（-2，0），∵$\overrightarrow{T{F_1}}•\overrightarrow{PQ}=0$，∴$\overrightarrow{T{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{PQ}$，
设T（-3，m），∴|TF₁|=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，直线TF₁的斜率${k}_{T{F}_{1}}$=$\frac{m-0}{-3-（-2）}$=-m，
当m≠0时，直线PQ的斜率k_PQ=$\frac{1}{m}$，直线PQ的方程是x=my-2，当m=0时也适合．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（m²+3）y²-4my-2=0，△＞0，
∴y₁+y₂=$\frac{4m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{-2}{{m}^{2}+3}$，
|PQ|=$\sqrt{{m}^{2}+1}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+3}$，
∴$\frac{{|{T{F_1}}|}}{{|{PQ}|}}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+1}}{\frac{2\sqrt{6}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+3}}$=$\frac{1}{\sqrt{24}}$$•\frac{{m}^{2}+3}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{24}}$$•\frac{{m}^{2}+1+2}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{24}}$$（\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+1}}）$≥$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{24}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当且仅当$\sqrt{{m}^{2}+1}$=$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，即m=±1时，等号成立．
∴$\frac{{|{T{F_1}}|}}{{|{PQ}|}}$的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．