Question

12．已知一圆经过点A（2，-3）和B（-2，-5），且圆心C在直线l：x-2y-3=0上，求此圆的方程．

Answer 1

分析 （解法一）：先求出线段AB的中垂线的方程，再把它和圆心C在直线l的方程联立方程组，求得圆心坐标，可得半径，从而求得此圆的方程．
（解法二）：待定系数法，设圆的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r² ，由条件联立方程组求出a、b、r的值，从而求得此圆的方程．

解答 解：（解法一）因为圆经过点A（2，-3），B（-2，-5），所以线段AB的中点D的坐标为（0，-4），
又 ${k_{AB}}=\frac{-5-（-3）}{-2-2}=\frac{1}{2}$，所以线段AB的垂直平分线的方程是y=-2x-4．
联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y-3=0}\\{y=-2x-4}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}}\right.$．…（6分）
所以，圆心坐标为C（-1，-2），半径r=|CA|=$\sqrt{{{（2+1）}^2}+{{（-3+2）}^2}}=\sqrt{10}$，
所以，此圆的标准方程是（x+1）²+（y+2）²=10．
（解法二）解：设圆的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r² ，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）^2}+{（-3-b）^2}={r^2}…（1）\\{（-2-a）^2}+{（-5-b）^2}={r^2}..（2）\\ a-2b-3=0…（3）\end{array}\right.$，
由（2）-（1）可得2a+b+4=0，∵$\left\{\begin{array}{l}2a+b+4=0\\ a-2b-3=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-2\end{array}\right.$，
综上所述，圆的标准方程为（x+1）²+（y+2）²=10．

点评 本题主要考查求圆的彼岸准方程的方法，属于基础题．